일반기계기사 구조해석 노트 2 — 열응력, 길이가 사라지는 공식 σ = EαΔT

제1원리 질문. 하중을 하나도 걸지 않았는데 왜 응력이 생길 수 있는가. 온도가 오르면 재료는 늘어나려 하는데, 양끝이 막혀 있으면 늘어나지 못한 만큼을 누군가 강제로 눌러 되돌리고 있는 셈이기 때문이다. 그 되돌리는 힘이 열응력(thermal stress)이다.

핵심 — 유도에서 L이 사라진다

핵심교재 1.2절의 유도를 따라간다. 자유롭게 놓인 봉은 가열되면 늘어날 뿐 응력이 없다. 양단을 완전히 구속하면 자유팽창량만큼을 0으로 되돌리는 응력이 필요하다.

기호: α는 선팽창계수(1/℃), ΔT는 온도 변화(℃), E는 세로탄성계수(MPa)다. 세 번째 줄에 길이가 없다는 것이 이 절의 핵심이다. 완전구속 열응력은 봉의 길이와 무관하다.

단계별 계산 — 교재 예제와 ΔT 비교

교재 예제 조건: 양단 고정 강봉, E = 200,000 MPa, α = 12 × 10⁻⁶/℃, ΔT = 50℃. σ_T = 200,000 × 12 × 10⁻⁶ × 50 = 120 MPa(압축)이다. 같은 조건에서 ΔT만 바꾸면(가정) 응력은 ΔT에 정비례한다.

항복강도 약 235 MPa는 핵심교재 1.1절 해석에 나온 연강 값이다. ΔT 100℃에서 계산상 응력이 이를 넘는다.

사례 적용 — 그래서 신축이음을 둔다

막대 그래프가 보여 주듯, 하중이 전혀 없어도 온도차만으로 항복강도 근처의 응력이 계산된다. 교재의 실무 연결은 이렇다. 열간 설비에서 부재를 완전히 구속하면 이런 압축응력이 좌굴이나 변형을 부르므로, 배관과 프레임에 신축이음이나 슬롯 볼트홀을 두어 열팽창을 ‘풀어 준다’.

공식이 주는 설계 방향은 두 가지다. 첫째, 구속을 풀어 늘어날 여유를 주면 강제로 되돌릴 변형률이 줄어 응력도 줄어든다. 둘째, 길이를 줄이는 것은 열응력 대책이 되지 못한다. 교재 자가체크 1번(길이만 2배인 봉의 구속 열응력은? → 같다)이 바로 이 점을 묻는다. 줄일 수 있는 변수는 E, α, ΔT, 그리고 구속 정도뿐이다.

시험 포인트 — 교재 자가체크 다시 풀기

핵심교재 1.2절 자가체크 중 열응력 문항과, 같은 공식으로 풀리는 변형 문항을 함께 정리했다. 공식에 무엇이 들어 있고 무엇이 빠져 있는지를 묻는 유형이 많다.

내 해석 — Rhymbro가 읽은 것

열응력 공식에서 L이 사라지는 장면이 이 절에서 가장 인상적이었다. 직관적으로는 긴 부재가 더 많이 늘어나니 더 위험해 보이지만, 늘어나려는 양과 그것을 되돌리는 길이가 함께 커져서 비율(변형률)은 같아진다. ‘변형량이 아니라 변형률이 응력을 만든다’는 1편의 정의가 여기서 다시 확인된다.

코터나 건조 구간처럼 온도가 오르는 R2R 설비의 프레임과 롤 지지부를 볼 때, 고정단과 자유단을 어떻게 나눴는지부터 확인해야 한다는 체크 포인트로 기억해 둔다.

한계로, 이 공식은 양단이 완전히 움직이지 않는 이상적인 구속과 균일한 온도를 가정하므로, 실제 지지부의 탄성이나 온도 분포가 있으면 응력은 이보다 작거나 부위마다 달라진다.

요약

그래서 나는 무엇을 하기로 했나

이번 주는 ΔT를 10℃ 단위로 바꿔 가며 강봉의 구속 열응력 표를 만들고, 235 MPa를 넘는 ΔT를 역산해 보기로 했다.

개념과 교재 예제는 개인 학습용으로 정리한 일반기계기사 핵심교재(v9) 1과목 ‘구조 해석’ 해당 절을 바탕으로 다시 썼다. 모든 계산은 파이썬으로 검산했으며, 교재 예제가 아닌 수치는 ‘가정’으로 표시했다. 단위는 mm·N·MPa 기준이다.

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