일반기계기사 구조해석 노트 3 — 모어원, 주응력과 최대 전단응력을 원 하나로 읽기

제1원리 질문. 한 점의 응력이 왜 보는 방향에 따라 달라지는가. 응력은 ‘어느 면에 작용하는 힘인가’를 함께 말하는 양이라, 면의 각도를 돌리면 같은 하중 상태도 수직응력과 전단응력으로 다르게 나뉘기 때문이다. 모어원(Mohr’s circle)은 그 변화를 원 하나로 그려 가장 위험한 값을 찾게 해 준다.

핵심 — 네 단계로 그리고 세 가지만 읽는다

핵심교재 1.2절은 σ_x(가로 수직응력), σ_y(세로 수직응력), τ_xy(전단응력)를 먼저 정의한다. 첨자는 방향 이름표일 뿐이다. 어떤 각도에서는 전단이 0이 되고 수직응력만 남는데, 그때의 값을 주응력(principal stress) σ₁, σ₂라 한다.

원 중심을 지나는 수평선이 τ = 0인 높이이고, 아래쪽 반원은 전단응력의 부호가 반대인 면에 해당한다. 읽을 값은 중심, 반지름, 교점 세 가지다.

단계별 계산 — 교재 자가체크와 가정 예제

사례 적용 — 전단이 끼면 주응력이 커진다

두 줄을 비교하면 모어원의 쓸모가 보인다. σ_x, σ_y는 같은데 전단 40 MPa가 더해지자 최대 수직응력이 80에서 100 MPa로, 최대 전단응력이 30에서 50 MPa로 커졌다. 좌표축 방향의 값만 보면 80 MPa가 최대인 것 같지만, 실제로는 다른 각도의 면에 100 MPa가 걸린다. 교재가 ‘부품은 대개 주응력에서 가장 위험하다’고 하는 이유다.

반지름 공식이 피타고라스 정리라는 교재 설명도 계산을 쉽게 한다. 반차 30과 전단 40을 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이 50이다. 공식을 외우기 전에 ‘각도를 돌리면 응력이 원을 그리며 변한다’는 그림을 먼저 머릿속에 넣으라는 것이 교재의 권고다. 교재 두문자는 ‘중반교’(중심 = 평균응력, 반지름 = τ_max, 교점 = 주응력)다.

시험 포인트 — 교재 자가체크 다시 풀기

핵심교재 1.2절 자가체크의 모어원 문항을 다시 푼다. 중심과 반지름만 구하면 나머지 값은 더하기와 빼기로 나온다.

내 해석 — Rhymbro가 읽은 것

모어원을 ‘좌표 변환을 그림으로 한 것’으로 이해하니 설계 검토 때의 습관과 연결됐다. 축이나 프레임의 응력을 x, y 방향 값으로만 보고 판단하면, 굽힘과 비틀림이 함께 걸리는 부위에서 실제 최대값을 놓칠 수 있다. 전단이 끼는 순간 ‘가장 큰 값은 다른 방향에 있다’는 점을 먼저 떠올리기로 했다.

계산 자체는 평균과 빗변 두 번이면 끝난다는 점도 부담을 덜어 준다. 복잡한 삼각함수 식을 외우는 대신 원의 중심과 반지름만 구한다.

한계로, 여기서 다룬 것은 평면응력(2차원) 상태의 모어원이므로 세 방향 응력이 모두 걸리는 3차원 상태나 재료의 파손 이론 선택까지는 이 원 하나로 판단할 수 없다.

요약

그래서 나는 무엇을 하기로 했나

이번 주는 σ_x, σ_y, τ_xy 조합 다섯 개를 임의로 정해 모어원을 손으로 그리고, 중심·반지름·교점을 계산값과 대조해 보기로 했다.

개념과 교재 예제는 개인 학습용으로 정리한 일반기계기사 핵심교재(v9) 1과목 ‘구조 해석’ 해당 절을 바탕으로 다시 썼다. 모든 계산은 파이썬으로 검산했으며, 교재 예제가 아닌 수치는 ‘가정’으로 표시했다. 단위는 mm·N·MPa 기준이다.

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