일반기계기사 구조해석 노트 7 — 보의 처짐, 길이의 3제곱과 계수 3·48·5/384

제1원리 질문. 강도는 충분한데 왜 처짐을 따로 계산해야 하는가. 부러지지 않아도 너무 휘면 기능이 망가지기 때문이다. 핵심교재는 R2R 롤이 자중과 장력으로 처지면 폭 방향 두께 편차가 생기므로 처짐은 곧 품질 문제라고 설명한다.

핵심 — 처짐 공식 4종

핵심교재 1.5절은 처짐이 굽힘강성 EI에 반비례한다(δ ∝ 1/EI)고 정리하고, 보·하중별 최대 처짐을 표로 준다. 기호는 P(N), w(N/mm), L(mm), E(MPa), I(mm⁴)이고 결과는 mm다.

단계별 계산 — 가정 조건

조건(가정): 6편의 세운 사각단면 I = 40,960,000 mm⁴, 강 E = 200,000 MPa, L = 2,000 mm, P = 10,000 N(등분포는 w = 5 N/mm). 먼저 EI = 200,000 × 40,960,000 = 8.192 × 10¹² N·mm²이다.

핵심교재 그림 1-6의 요지 ‘같은 하중이라도 지지 조건에 따라 처짐이 크게 달라진다’를 가정 수치로 확인했다.

사례 적용 — 중간 지지를 넣는 이유

표의 첫 줄과 마지막 줄이 핵심이다. 단순보 길이를 2,000 mm에서 1,000 mm로 절반만 줄였는데 처짐은 0.203 mm에서 0.025 mm로 1/8이 됐다. L³에 비례하기 때문이다. 교재의 흔한 오개념 항목이 ‘처짐은 길이의 3~4제곱에 비례하므로 길이를 조금만 줄여도 처짐이 급감한다, 긴 롤에 중간 지지를 넣는 이유’라고 정리한 부분이 그대로 확인된다.

외팔보 끝 집중(3.255 mm)은 같은 조건의 단순보 중앙 집중(0.203 mm)의 16배다. 계수 3과 48의 비가 16이기 때문이다. 처짐을 줄이는 수단은 공식에 다 들어 있다. E가 큰 재료, I가 큰 단면(높이 증가), 짧은 스팬, 그리고 더 강한 지지 조건이다.

시험 포인트 — 교재 자가체크 다시 풀기

핵심교재 1.5절 자가체크 중 처짐 문항과 이번 편 계산에서 나온 비율을 함께 정리했다.

내 해석 — Rhymbro가 읽은 것

R2R 설비의 롤은 폭이 넓어질수록 스팬이 길어지고, 처짐이 L의 3~4제곱으로 커진다는 점이 광폭화 설계의 부담을 수식으로 보여 준다. 교재가 처짐을 ‘품질 문제’로 부른 것은 롤 처짐이 곧 코팅 두께나 압연 두께의 폭 방향 편차로 이어지기 때문이라고 이해했다.

계수 두문자 ‘삼·사팔·오분의384’는 외우되, 시험장에서 헷갈리면 외팔보가 단순보보다 훨씬 많이 처진다는 방향 감각으로 검산하기로 했다.

한계로, 실제 롤은 자중(등분포)과 장력, 베어링 지지 강성이 함께 작용하므로 이 표의 단일 하중 공식만으로 처짐을 확정할 수 없고 하중을 중첩하거나 지지부 탄성을 따로 고려해야 한다.

요약

그래서 나는 무엇을 하기로 했나

이번 주는 같은 조건에서 L을 500 mm 간격으로 바꿔 단순보 처짐 곡선을 그리고, 허용 처짐을 0.1 mm로 가정했을 때 최대 스팬을 역산해 보기로 했다.

개념과 교재 예제는 개인 학습용으로 정리한 일반기계기사 핵심교재(v9) 1과목 ‘구조 해석’ 해당 절을 바탕으로 다시 썼다. 모든 계산은 파이썬으로 검산했으며, 교재 예제가 아닌 수치는 ‘가정’으로 표시했다. 단위는 mm·N·MPa 기준이다.

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