일반기계기사 구조해석 노트 4 — 비틀림, 축 지름의 3제곱 효과

제1원리 질문. 축 지름 몇 mm 차이가 왜 설계를 좌우하는가. 비틀림 전단응력을 버티는 능력(극단면계수)이 지름의 3제곱에, 비틀림각을 줄이는 능력(극단면2차모멘트)이 지름의 4제곱에 비례해서, 지름의 작은 변화가 크게 증폭되기 때문이다.

핵심 — 중심 0, 표면 최대

핵심교재 1.3절에 따르면 토크가 걸린 축의 전단응력은 중심에서 0, 표면에서 최대로 선형 분포한다. 그래서 표면이 먼저 항복하고, 정작 일하는 바깥살만 남긴 중공축이 재료 대비 효율적이다.

단계별 계산 — 교재 예제

동력 공식도 연결해 둔다. 첫 예제의 T = 1,000,000 N·mm = 1,000 N·m이 회전수 300 rpm(가정)으로 돈다면 P = 1,000 × 2π × 300 / 60,000 = 31.4 kW다. 식의 T는 N·m 단위라는 점을 놓치면 1,000배 틀린다.

교재 자가체크 ‘지름 3배 → Z_p 27배’를 포함해 그렸다. 비틀림각은 d⁴에 반비례하므로 지름 2배면 1/16로 줄어든다.

사례 적용 — 굽힘과 비틀림의 계수 차이

교재 암기 박스는 굽힘 단면계수와 비틀림 극단면계수를 나란히 둔다. 중실 원에서 굽힘은 Z = πd³/32, 비틀림은 Z_p = πd³/16이다. 분모가 절반이라 같은 지름에서 비틀림 쪽 계수가 2배다. 시험에서 두 공식을 바꿔 쓰면 응력이 정확히 2배 틀리므로, 분모 32와 16을 짝으로 외운다.

교재 부록 A-3은 이 식을 축 지름 설계식 d = ∛(16T/πτ_a)로 뒤집어 정리한다(τ_a: 허용 전단응력). 즉 이번 절의 τ = T/Z_p를 지름에 대해 푼 것이 동력전달축 설계의 출발점이다.

시험 포인트 — 교재 자가체크 다시 풀기

핵심교재 1.3절 자가체크를 다시 풀었다. 지수 감각(응력은 d³, 각도는 d⁴)을 묻는 문항과 대입 계산 문항이 섞여 있다.

내 해석 — Rhymbro가 읽은 것

지름의 3제곱·4제곱 효과는 R2R 설비의 롤 축이나 구동축 사양을 검토할 때 체감되는 숫자다. 지름을 한 단계 올리는 것이 재료비 증가보다 훨씬 큰 강도 여유를 준다는 점, 반대로 지름을 조금 줄이는 원가 절감이 강도를 크게 깎는다는 점을 수식으로 확인했다.

또 ‘중심은 일하지 않는다’는 응력 분포 설명은 중공축을 쓰는 이유를 한 문장으로 정리해 준다. 다만 중공축의 Z_p 공식은 이번 정리 범위 밖이라 교재 해당 부분을 다시 확인하기로 했다.

한계로, 여기의 공식은 비틀림만 받는 중실 원형축 기준이며, 실제 축은 굽힘이 함께 걸려 상당비틀림모멘트 T_e = √(M² + T²)로 합성해 봐야 한다.

요약

그래서 나는 무엇을 하기로 했나

이번 주는 d = 30, 40, 50, 60 mm 축에 같은 토크를 걸었을 때 τ와 θ를 표로 계산하고, 지름 증가율과 응력 감소율을 나란히 비교해 보기로 했다.

개념과 교재 예제는 개인 학습용으로 정리한 일반기계기사 핵심교재(v9) 1과목 ‘구조 해석’ 해당 절을 바탕으로 다시 썼다. 모든 계산은 파이썬으로 검산했으며, 교재 예제가 아닌 수치는 ‘가정’으로 표시했다. 단위는 mm·N·MPa 기준이다.

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