일반기계기사 구조해석 노트 1 — 응력·변형률·후크의 법칙, σ = P/A에서 δ = PL/AE까지

제1원리 질문. 같은 힘인데 왜 가는 봉은 끊어지고 굵은 봉은 멀쩡한가. 파괴를 정하는 것은 힘 자체가 아니라 단위 면적당 힘, 즉 응력(stress)이기 때문이다. 응력과 변형률은 부재 크기와 무관하게 재료 고유의 성질을 비교하려고 힘과 늘어남을 면적과 원래 길이로 나눈 값이다.

핵심 — 정의 두 개와 법칙 하나

핵심교재 1.1절은 응력과 변형률을 정의한 뒤, 탄성 구간에서 둘이 비례한다는 후크의 법칙(Hooke’s law)으로 변형량 공식을 유도한다. 기호와 단위를 먼저 고정한다.

유도는 세 줄이다. σ = Eε에 정의를 넣으면 P/A = E(δ/L)이고, δ에 대해 정리하면 δ = PL/(AE)가 된다. 교재가 함께 정리한 관계식은 전단응력 τ = P/A_s, 푸아송비(Poisson’s ratio) ν = |가로변형률|/|세로변형률|, 가로탄성계수 G = E/{2(1 + ν)}다.

핵심교재 그림 1-1의 설명을 순서도로 옮겼다. 설계에서 넘지 말아야 할 선은 항복점이다.

단계별 계산 — 교재 예제

조건: 지름 d = 20 mm 강봉, 하중 P = 31,416 N, E = 200,000 MPa, 길이 L = 1,000 mm.

사례 적용 — 길이와 지름이 변형에 주는 영향

δ = PL/(AE)를 보면 변형량은 길이 L에 비례하고 단면적 A에 반비례한다. 교재가 짚는 흔한 오개념이 여기서 나온다. “굵을수록 덜 늘어난다”는 맞지만, 같은 하중에서 긴 축일수록 더 늘어난다는 점을 놓치기 쉽다. 위 예제에서 L만 2,000 mm로 늘리면 응력은 100 MPa 그대로지만 δ는 1.0 mm가 된다. 지름을 반으로 줄이면 A가 1/4이 되어 응력과 변형량이 모두 4배가 된다.

G 관계식도 숫자로 확인해 둔다. 교재 자가체크처럼 E = 208,000 MPa, ν = 0.3이면 G = 208,000 / (2 × 1.3) = 208,000 / 2.6 = 80,000 MPa다. 분모 2(1 + ν) = 2.6이므로 G는 E의 약 0.385배라는 감각으로 외운다.

시험 포인트 — 교재 자가체크 다시 풀기

핵심교재 1.1절 끝의 ‘오늘의 자가체크’를 풀이 근거와 함께 다시 정리했다. 세 문항 모두 이번 편의 공식 두 개(σ = P/A, δ = PL/AE)와 G 관계식만으로 풀린다.

내 해석 — Rhymbro가 읽은 것

R2R 설비에서 장력이 걸린 웹(web)이나 롤 축을 볼 때 결국 묻는 것은 ‘이 단면이 이 하중에서 몇 MPa를 받는가’다. 하중(N)을 먼저 보는 습관을 응력(MPa)을 먼저 보는 습관으로 바꾸는 것이 이 절의 핵심이라고 읽었다. 같은 N이라도 단면이 바뀌면 전혀 다른 이야기가 되기 때문이다.

또 연성재가 파단 전에 크게 늘어나 ‘경고’를 준다는 교재 설명은 안전설계에서 재료를 고르는 기준으로 기억해 둘 만했다. 취성재는 예고 없이 끊어진다.

한계로, 이 공식들은 비례한도 안의 탄성 구간과 단면이 균일한 봉을 전제로 하므로, 노치나 단면 급변부처럼 응력이 몰리는 곳에는 그대로 적용할 수 없다.

요약

그래서 나는 무엇을 하기로 했나

이번 주는 교재 자가체크 3문항을 풀고, 지름과 길이를 각각 2배로 바꾼 경우의 σ와 δ를 표로 직접 계산해 두기로 했다.

개념과 교재 예제는 개인 학습용으로 정리한 일반기계기사 핵심교재(v9) 1과목 ‘구조 해석’ 해당 절을 바탕으로 다시 썼다. 모든 계산은 파이썬으로 검산했으며, 교재 예제가 아닌 수치는 ‘가정’으로 표시했다. 단위는 mm·N·MPa 기준이다.

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